Grup

GRUP

Ada tiga sifat himpunan bilangan bulat yaitu :

1.      Penambahan pada himpunan bilangan bulat bersifat asosiatif.

2.      0 adalah elemen identitas himpunan bilangan bulat.

3.      Relatif terhadap 0, integer masing – masing memiliki invers (negatif).

Sifat – sifat penting pada himpunan bilangan bulat menunjukan bahwa bilangan bulat dengan penambahan membentuk kelompok (grup), dalam definisi berikut :

Definisi :

Grup A adalah himpunan G yang di tetapkan bersama dengan * operasi pada G sedemikian rupa sehingga masing – masing aksioma berikut terpenuhi : 

• Assosiatif

a * ( b * c) = ( a * b ) * c, untuk semua a, b, c € G.

• Keberadaan elemen identitas

Ada e elemen € G sedemikian rupa sehingga :

       a * b = b * a = e 

   

•  Keberadaan elemen invers   => a * e = e * a = a, untuk semua a € 

Contoh 1 :

Himpunan bilangan bulat dengan penambahan adalah Grup. Penambahan adalah operasi karena jumlah dari dua buah bilangan integer adalah integer. Hukum asosiatif adalah benar untuk semua bilangan bulat, sehingga himpunan bagiannya juga adalah integer. Elemen identitasnya adalah 0 dan invers dari integer x adalah – x.

Contoh 2 :

Himpunan bilangan bulat positif dengan penambahan bukanlah Grup. Karena ada unsur identitas. Bahkan jika kita menganggap bilangan bulat positif bersama dengan 0 kita tidak akan mendapatkan kelompok, karena tidak ada unsur selain 0 akan memiliki invers.

Contoh 3 :

Himpunan {0} bersama-sama dengan penambahan adalah kelompok. Perhatikan bahwa karena kelompok harus mengandung unsur identitas, set mendasari kelompok harus selalu mengandung setidaknya satu elemen.

 Contoh 4 :

Himpunan bilangan rasional positif dengan perkalian merupakan grup. Jika r / s
dan u / v adalah positif, maka (r / s) (u / v) = ru / sv juga positif.

Contoh 5 :

Tabel 1 dan 2 mendefinisikan operasi pada himpunan {a, b, c} bahwa kelompok-kelompok hasil pada Tabel 1 (*), adalah elemen identitas dan invers dari a, b, dan c adalah, c, dan b,
masing. Pada Tabel 2 (#), b adalah elemen identitas dan invers dari a, b, dan c adalah
c, b, a.

             Tabel 1

*	a	b	c
a	a	b	c
b	b	c	a
c	c	a	b

            Tabel 2

*	a	b	c
a	c	a	b
b	a	b	c
c	b	c	a

Contoh 6 :

Jika S adalah setiap himpunan tidak kosong, maka himpunan semua pemetaan dibalik di M (S) adalah kelompok dengan komposisi sebagai operasi.

Contoh 7 :

Misalkan A menunjukkan himpunan semua : , Ingat bahwa a, b € , a ≠ 0 dan untuk setiap x € . Dengan komposisidari pemetaan seperti operasi, ini menghasilkan Grup.

Definisi. Sebuah grup G dikatakan Abelian jika operasi kelompok adalah komutatif
(ab = ba untuk semua a, b € G).

 Pemeriksaan Grup ini di lakukan untuk mengungkapkan bahwa setiap kasus hanya memiliki satu elemen identitas dan elemen invers.

Teorema  :

Asumsikan bahwa bersama-sama dengan G * merupakan grup.

(A) Elemen identitas G adalah unik. Artinya, jika e dan f adalah elemen dari G sedemikian rupa sehingga :

          e * a = a * e = a,  untuk setiap a € G

dan    f * a = a * f = a,  untuk setiap a € G,

maka e = f.

(B) Setiap elemen dalam kelompok memiliki invers yang unik. Artinya, jika, x, dan y adalah elemen G, e adalah elemen identitas G, dan

           a * x = x * a = e

dan     a * y = y * a = e,

maka   x = y.

BUKTI.

(A) Asumsikan bahwa e dan f adalah seperti yang dinyatakan. Lalu e * a = a untuk setiap a € G , dan e * f = f. Demikian pula, dengan menggunakan a = e dalam * f = a, kita memiliki e * f = e. Demikian f = e * f = e, dan sehingga e = f.

(B) Dengan a, x, dan y seperti yang dinyatakan, tulis

      x = x * e                                      (e adalah identitas)

         = x * (a * y)                              (a * y = e)

         = (x * a) * y                              (asosiatif)

         = e * y                                       (x * a = e)

         = y                                              (e adalah identitas).