Peluang

PELUANG

 1. Menggunakan Aturan Perkalian, Permutasi dan Kombinasi

A.    Aturan Perkalian

                        Jika kejadian pertama dapat terjadi dalam n₁ cara berbeda, kejadian kedua dapat terjadi dalam n₂ cara berbeda, kejadian ketiga dapat terjadi dalam n₃ cara berbeda, kejadian keempat dapat terjadi dalam n₄ cara berbeda, dan seterusnya, maka keseluruhan kejadian tersebut dapat terjadi bersama. Banyak cara peristiwa tersebut terjadi dapat dirumuskan dengan :

n₁ x n₂ x n₃ x n₄…..n_n

Contoh :

Dari angka-angka 1,2,3,4 dan 7 akan dibuat bilangan ratusan. Tentukan banyak bilangan yang terjadi!

Jawab

ratusan               puluhan                satuan

5 cara                 5 cara                 5 cara

= 5 x 5 x 5 =125

Jadi, banyak bilangan yang terjadi adalah 125 buah.

B. Aturan Permutasi

                        Permutasi adalah susunan unsur-unsur yang berbeda dalam urutan tertentu. Pada permutasi urutan diperhatikan sehingga permutasi n unsur yang diambil dari r unsur adalah semua urutan yang berbeda yang mungkin dari n unsur yang diambil dari r unsur  yang berurutan. Diperoleh banyak cara untuk meletakan unsur-unsur tersebut. Kalau kita tukar tempatnya satu dengan yang lainnya, maka tersusunlah suatu kedudukan yang baru dari unsur-unsur tersebut. Kedudukan atau urutan n unsur-unsur tersebut dinamakan permutasi dari unsur-unsur n yang lain. Permutasi merupakan bentuk khusus aplikasi prinsip perkalian.

Macam-macam permutasi :

1)      Permutasi n objek berbeda disusun n objek (seluruhnya)

            P_n = n!

      Contoh :

      Kata “ULAR” terdiri dari 4 huruf, berapa banyakkah macam susunan huruf yang dapat dibuat?

      Jawab :

      P₄ = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

2)      Permutasi n objek berbeda disusun r objek (variasi)

      P(n,r) = n!/(n-r)!

               :

3)   Permutasi siklus (pengaturan dalam suatu urutan melingkar)

Permutasi dengan susunan seperti siklus (tanpa awal dan tanpa ujung).

            P = (n-1)!

            Contoh:

            Suatu keluarga yang terdiri atas 6 orang duduk mengelilingi sebuah meja makan yang berbentuk lingkaran. Berapa banyak cara agar mereka dapat duduk mengelilingi meja makan dengan cara yang berbeda?

            Jawab :

            Banyaknya cara agar 6 orang dapat duduk mengelilingi meja makan dengan urutan yang berbeda sama dengan banyaknya permutasi siklik (melingkar) 6 unsur yaitu :

            P = (n - 1)! = (6 – 1)! = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
 

C.    Aturan Kombinasi

                        Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan urutannya.

Banyaknya kombinasi  unsur dari himpunan dengan  unsur dinotasikan dengan  C(n,r) = n!/(n-r)!r!

Contoh :

Ada lima orang dalam ruangan yang belum saling mengenal. Apabila mereka ingin saling berkenalan dengan berjabat tangan sekali dengan setiap orang, maka jabatan tangan yang akan terjadi sebanyak?

Jawab :

A berjabatan tangan dengan B sama artinya B berjabat tangan dengan A atau AB=BA, berarti masalah ini merupakan masalah kombinasi dengan n=5 dan r=2

Banyak jabatan tangan: C (n,r) = 5!/(5-2)!2! = 5!/3!2! =10 

2. Menentukan Ruang Sampel Suatu Percobaan

A.    Ruang Sampel

                        Percobaan adalah suatu kegiatan yang memberikan suatu hasil yang dapat diamati. Hasil yang diamati dalam percobaan disebut hasil percobaan. Contoh : percobaan melempar sebuah dadu, hasil yang terjadi berupa munculnya mada dadu 1, mata dadu 2, 3, 4, 5, 6. Ruang Contoh atau Ruang Sampel adalah himpunan dari hasil yang mungkin dari sebuah percobaan. Titik Sampel adalah anggota – anggota dari Ruang Sampel. Contoh : Dari pelemparan sebuah dadu di atas, Ruang Sampelnya adalah S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, sedangkan Titik Sampelnya berupa 1, 2, 3, 4, 5, 6.. Menentukan ruang sampel suatu percobaan, dapat dilakukan dengan diagram pohon atau tabel. Contoh :

11) Pelemparan dua mata uang

	A	G
A	(A,A)	(A,G)
G	(A,A)	(A,G)

 

 S = {(A,A), (A, G), (G, A), (G, G)}. Ada 2 x 2 = 4 titik sampel.

22) Pelemparan dua dadu

	1	2	3	4	5	6
1	(1,1)	(1,2)	(1,3)	(1,4)	(1,5)	(1,6)
2	(2,1)	(2,2)	(2,3)	(2,4)	(2,5)	(2,6)
3	(3,1)	(3,2)	(3,3)	(3,4)	(3,5)	(3,6)
4	(4,1)	(4,2)	(4,3)	(4,4)	(4,5)	(4,6)
5	(5,1)	(5,2)	(5,3)	(5,4)	(5,5)	(5,6)
6	(6,1)	(6,2)	(6,3)	(6,4)	(6,5)	(6,6)

Ada 6 x 6 = 36 titik sampel.

            Ruang Sampel :

1)      Ruang sampel pelemparan 1 koin

            Banyaknya ruang sampel pelemparan 1 koin adalah 2¹= 2, yaitu sisi angka dan sisi gambar.

2)      Ruang sampel pelemparan 2 koin

Banyaknya ruang sampel pelemparan 2 koin adalah 2²= 4.

3)      Ruang sampel pelemparan 1 dadu

Banyaknya ruang sampel pelemparan 1 dadu adalah 6, karena ada 6 mata dadu.

4)      Ruang sampel pelemparan 2 dadu

Banyaknya ruang sampel pelemparan 2 dadu adalah 6² = 36.

5)      Ruang sampel pelemparan 1 koin dan 1 dadu

Banyaknya ruang sampel pelemparan 1 koin dan 1 dadu adalah 2 x 6 = 12. 

3. Menentukan Peluang Suatu kejadian dan Penafsirannya

A.    Peluang Kejadian

                                    Misalkan suatu percobaan dengan setiap hasil memiliki kesempatan sama untuk terjadi, dengan ruang sampel S dan A adalah suatu kejadian pada percobaan tersebut, maka peluang A terjadi dapat dinyatakan oleh pernyataan berikut :

P(A) =n(A)/n(S)

Ket :

n(A) = banyaknya kejadian A

n(S) = banyaknya kejadian seluruhnya

Contoh :

Pada percobaan pelemparan sebuah dadu, tentukanlah peluang percobaan kejadian muncul bilangan genap!

Jawab :

S = {1,2,3,4,5,6}  maka n(S) = 6

Misalkan A adalah kejadian munculnya bilangan genap, maka A =  maka n(A) = 3

P (A) = n(A)/n(S) = 3/6 =1/2

B.     Batas-Batas Peluang

            Peluang suatu kejadian dapat bernilai 1 (Pasti), 0 (Mustahil), atau antara keduanya. Kisaran peluang suatu kejadian A dinyatakan dengan

C.    Peluang Komplemen Suatu Kejadian

             Peluang suatu kejdian A = P(A), sedangkan Komplemen suatu kejadian A = P(A’). Hubungan keduanya dinyatakan dalam : P (A) + P(A^C) = 1. Jika A^C adalah kejadian bukan A, maka
P(A^C ) = 1 – P(A)

            D. Peluang Kejadian Majemuk

            Kejadian majemuk adalah kejadian yang diperoleh dari kejadian-kejadian sederhana yang dihubungkan kata dan atau kata atau. Jika pada suatu saat terjadi 2 kejadian atau lebih bersama – sama, maka dapat terjadi kemungkinan seperti berikut :

1)      Kejadian Saling Lepas

            Kejadian saling lepas terjadi jika antar kejdian itu tidak mungkin saling mempengaruhi. Dua kejadian juga dapat dihubungkan dengan kata sambung atau. Sebagai contoh, misalkan diminta menghitung peluang pengambilan kartu J (jack) atau Q (queen) dari tumpukan kartu bridge. Oleh karena satu kartu tidak mungkin berlaku J dan Q secara bersama-sama, maka kita katakan bahwa kejadian ini terpisah satu sama lain (mutually exclusive). Yaitu, kedua kejadian tidak mungkin terjadi pada waktu yang bersamaan. Peluang dua kejadian yang terpisah satu sama lain ditentukan dengan menambahkan kedua peluang kejadian. Dengan demikian berlaku:

 P(A atau B) = P(A) + P(B).

2)      Kejadian Saling Bebas

            Peluang kejadian pertama tidak mempengaruhi peluang kejadian kedua. Kejadian semacam ini disebut kejadian saling bebas sebab hasil kejadian pertama tidak mempengaruhi hasil pada kejadian kedua. Peluang dari dua kejadian bebas diperoleh dari hasil kali peluang kejadian pertama dan peluang kejadian kedua.

P (A  B) = P (A) x P (B)

3) Peluang Kejadian Tak Bebas (Terbatas) 

Dua kejadian disebut tak bebas apabila terjadinya salah satu dari kejadian itu akan mempengaruhi kejadian yang lain.  

berlaku :

P(A∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

             E. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian 

                        Jika A adalah suatu kejadian pada frekuensi ruang sampel S dengan peluang P(A), maka frekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan adalah n x P(A).

Contoh :

Bila sebuah dadu dilempar sebanyak 720 kali, berapakah frekuensi harapan dari munculnya mata dadu 1?

Jawab :

Pada pelemparan dadu 1 kali, S = , maka n(S) = 6

Misalkan A adalah kejadian munculnya mata dadu 1, maka n(A) = 1

P (A) = 1/6

Frekuensi munculnya mata dadu 1 adalah F(h) = n x P(A) = 1/6 x 720  = 120 kali.

      F. Frekuensi Relatif

                        Frekuensi relatif adalah perbandingan antara jumlah kejadian dengan banyaknya percobaan yang dilakukan.

FR = P(A)/N

     dimana :  FR   = Frekuensi Relatif suatu kejadian

                    P(A)        = Banyaknya kejadian

                     N     = Jumlah percobaan yang dilakukan

DAFTAR PUSTAKA
 

Soemartojo, N. 1992. Kalkulus Dasar. Jakarta : Lembaga Penerbit Fakultas Ekonomi Universitas Indonesia.

Sulardi. 2004. Buku Latihan Soal-Soal Simpati Sarana Pasti Meraih Prestasi Matematika IPA. Surakarta : CV. Grahadi.