Himpunan Part II

Hukum – Hukum Aljabar Himpunan

               Terdapat beberapa sifat yang berlaku pada operasi antara dua himpunan atau lebih. Sifat – sifat tersebut dinyatakan dalam kesamaan himpunan ( set identities ). Kesamaan tersebut diberi nama “hukum” yang menyatakan bahwa bila dua himpunan atau lebih di operasikan, maka hukum – hukum yang mengatur operasi tersebut berlaku. Ada 11 buah hukum dan beberapa hukum tersebut mirip dengan hukum aljabar pada sistem bilangan riil seperti a ( b + c ) = ab + ac yaitu hukum distributive, sehingga hukum – hukum pada himpunan dinamakan juga hukum – hukum aljabar himpunan.

1.   Hukum identitas              

     (i) A ∪ ∅ = A

     (ii) A ∩ U = A

2.  Hukum null/dominasi

     (i) A ∩ ∅ = ∅

     (ii) A ∪ U = U 

3.  Hukum komplemen

     (i) A ∩ A' = U

     (ii)  A ∪ A' = ∅

4.   Hukum idempoten

     (i) A ∪ A = A

     (ii) A ∩ A = A

5.   Hukum involusi

      (i) ( A' )' = A

6.   Hukum penyerapan (absorpsi)

     (i) A ∪ (A ∩ B) = A

     (ii) A ∩ ( A ∪ B ) = A

7.   Hukum komutatif

      (i) A ∪ B = B ∪ A

      (ii) A ∩ B = B ∩ A

8.   Hukum asosiatif

      (i) A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C

      (ii) A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B) ∩ C

9.   Hukum distributif

      (i) A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C )

      (ii) A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C )

10. Hukum De Morgan

      (i) ( A ∩ B)' = A' ∪ B'

      (ii) ( A ∪ B )' = A' ∩ B'

11. Hukum 0/1 (hukum komplemen 2)

     (i)  ∅' = U

     (ii) U' = ∅

Prinsip Dualitas

Prinsip dualitas mengemukakan bahwa dua konsep yang berbeda dapat dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang benar.

Contoh : AS => kemudi mobil di kiri depan

               Inggris/Indonesia => kemudi mobil di kanan depan

Peraturan: (a) di Amerika Serikat :

-          mobil harus berjalan di bagian kanan jalan,

-          pada jalan yang berlajur banyak, lajur kiri untuk mendahului,

-          bila lampu merah menyala, mobil belok kanan boleh langsung

                     (b) di Inggris/Indonesia

                          - mobil harus berjalan di bagian kiri jalan,

                          - pada jalur yang berlajur banyak, lajur kanan untuk mendahului,

                         - bila lampu merah menyala, mobil belok kiri boleh langsung

Prinsip dualitas pada kasus diatas adalah: Konsep kiri dan kanan dapat dipertukarkan pada kedua negara tersebut sehingga peraturan yang berlaku di Amerika Serikat menjadi berlaku pula di Inggris/Indonesia.

(Prinsip Dualitas pada Himpunan). Misalkan S adalah suatu kesamaan (identity) yang melibatkan himpunan dan operasi-operasi seperti ∪, ∩, dan komplemen. Jika S* merupakan kesamaan yang berupa dual dari S maka dengan mengganti ∪ → ∩, ∩ → ∪, ∅ → U, U → ∅, sedangkan komplemen dibiarkan seperti semula, maka operasi-operasi tersebut pada kesamaan S* juga benar dan disebut dual dari kesamaan S.

Didalam hukum – hukum aljabar himpunan kita dapat melihat bahwa beberapa sifat operasi simpunan merupakan analog satu sama lain. Sebagai contoh, pada hukum komplemen, A ∪ A' = ∅  analog dengan  

A ∩ A' = U, begitu juga pada hukum asosiatif, A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C analog dengan  

A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B) ∩ C. Hukum yang kedua diperoleh dari hukum yang pertama dengan cara mengganti tanda ∪ dengan ∩, ∩ dengan ∪ , ∅ dengan U, U dengan ∅  dan membiarkan komplemen tetap seperti dinyatakan sebelumnya.

Hukum - hukum dalam prinsip dualitas sama dengan hukum - hukum yang ada dalam hukum aljabar himpunan diatas, hanya pada prinsip dualitas tidak memiliki hukum involusi karena komplemen tidak memiliki dual.

Prinsip Inklusi – Eksklusi

Penggabungan dua himpunan menghasilkan himpunan baru yang elemen – elemennya berasal dari himpunan A dan himpunan B. Himpunan A dan himpunan B mungkin saja memiliki elemen – elemen yang sama. Banyaknya elemen bersama antara A dan B adalah | A ∩ B | . Setiap unsur yang sama itu telah dihitung dua kali, sekali pada |A| dan sekali pada |B|, meskipun ia seharusnya dianggap sebagai satu buah elemen didalam |A| . Karena itu, jumlah elemen hasil penggabungan seharusnya adalah jumlah elemen di masing – masing dikurangi dengan jumlah didalam irisannya atau

| A ∪ B | =  |A| + |B| - | A ∩ B |

Prinsip ini dikenal dengan nama prinsip inklusi – eksklusi.


DAFTAR PUSTAKA
Munir, Rinaldi. 2012. Matematika Diskrit. Bandung : Informatika 
Saondi, Ondi. 2009. Teori Himpunan. Cirebon : Al-Tarbiyah Press